Question

5．如图，在四棱锥A-DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）设平面ADE∩平面ABC=直线l，求证：BC∥l；
（Ⅲ）若∠ABC=30°，AB=2，EB=$\sqrt{3}$，求三棱锥B-ACE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面ACD，利用底面DCBE为平行四边形，所以BC∥ED，可得DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）证明BC∥平面ADE，利用平面ADE∩平面ABC=直线l，可得BC∥l；
（Ⅲ）证明BE⊥平面ABC，利用V_B-ACE=V_E-ABC，求三棱锥B-ACE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：因为DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥DC．…（1分）
又因为AC⊥BC，AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C，
所以，BC⊥平面ACD．…（3分）
因为底面DCBE为平行四边形，所以BC∥ED．
所以DE⊥平面ACD．…（5分）
（Ⅱ）证明：因为底面DCBE为平行四边形，所以BC∥ED．…（6分）
因为BC?平面ADE，ED?平面ADE，所以BC∥平面ADE．…（8分）
因为平面ADE∩平面ABC=l，BC?平面ABC，所以BC∥l．…（10分）
（Ⅲ）解：因为底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，
所以BE⊥平面ABC．
所以V_B-ACE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面平行，三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．