Question

10．若函数y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围是a＜-1．

Answer 1

分析 先求出函数y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx的导数，问题转化为：a＜-2x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1），令g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，求出函数g（x）的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：∵y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，
∴y′=cos2x-asinx＞0，
∴1-2sinx²-asinx＞0，
即-2x²-ax+1＞0，x∈（0，1），
∴a＜-2x+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，
则g′（x）=-2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，1）递减，
∴a＜g（1）=-1，
故答案为：a＜-1．

点评 本题考查了好的单调性，考查导数的应用，考查转化思想，问题转化为：a＜-2x+$\frac{1}{x}$是解题的关键．