Question

13．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M，T（不与A，B重合），连结MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证：MTCO四点共圆；
（Ⅱ）求证：MD=2MC．

Answer 1

分析 （1）由切割线定理可得DT•DM=DB•DA，结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换，即可得证；
（2）利用四点共圆的性质及圆周角定理，可得MB是∠DMC的平分线，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）因MD与圆O相交于点T，设DN与圆O相切于点N，
由切割线定理DN²=DT•DM，DN²=DB•DA，
得DT•DM=DB•DA，
设半径OB=r（r＞0），
因BD=OB，且BC=OC=$\frac{r}{2}$，则DB•DA=r•3r=3r²，DO•DC=2r•$\frac{3r}{2}$=3r²，
所以DT•DM=DO•DC．
所以M、T、C、O四点共圆；…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知M、T、C、O四点共圆，
所以∠DMC=∠DOT，
因为∠DMB=$\frac{1}{2}$∠TOD，
所以∠DMB=∠CMB，
所以MB是∠DMC的平分线，
所以$\frac{MD}{MC}$=$\frac{DB}{BC}$=2，
所以MD=2MC   …（10分）

点评 本题考查四点共圆，角平分线的性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．