Question

18．已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：
（1）PA•PD=PE•PC；
（2）AD=AE．

Answer 1

分析 （1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA²=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；
（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．

解答 证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，
所以△APD∽△BPE，
所以$\frac{AP}{BP}=\frac{PD}{PE}$，
所以AP•PE=PD•PB，
因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，
所以PA²=PB•PC，
所以$\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{PD}$，
所以PA•PD=PE•PC；
（2）连接AC，DE，
因为BC为圆O的直径，
所以∠BAC=90°，
所以AB⊥AC．
因为$\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{PD}$，
所以AC∥DE，
所以AB⊥DE，
因为AD⊥BP，BE⊥AP，
所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，
因为AB⊥DE，
所以AD=AE．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．