Question

2．如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：平面DBE⊥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点G，证明FG平行且等于CD，可得四边形FMCD为平行四边形，进而得到DF∥CG，从而证明DF∥平面ABC．
（2）取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．

解答 （1）证明：取AB中点G，连线FG、CG，F为BE中点，
∴GF∥AE，GF=$\frac{1}{2}$AE，又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，且CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴GF∥CD，GF=CD，
∴四边形CDFG为平行四边形
∴DF∥CG，又DF?平面ABC，CG?平面ABC
∴DF∥平面ABC．
（2）证明：取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．
又△ABC为正三角形，G为AB中点
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF?平面DBE，
∴平面DBE⊥平面ABE．

点评 本题考查证明线面平行以及面面垂直的判定定理，要求熟练掌握相应的判定定理，考查学生的推理能力．