Question

15．已知虚数z₁，z₂满足z₁²=z₂
（1）若z₁，z₂为某实系数一元二次方程的两根，求z₁，z₂；
（2）若z₁=1+bi，|z₁|$≤\sqrt{2}$，ω=z₂+3，求|ω|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设z₁ =a+bi，a、b∈R，b≠0，则z₂ =a-bi，再根据 z₁²=z₂ ，可得 a²-b²+2abi=a-bi，再利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得z₁，z₂ ．
（2）由条件求得 0＜b²≤1，再根据|ω|=$\sqrt{{（4{-b}^{2}）}^{2}{+（2b）}^{2}}$=$\sqrt{{{（b}^{2}-2）}^{2}+12}$，利用二次函数的性质求得它的值域．

解答 解：（1）若z₁，z₂为某实系数一元二次方程的两根，则z₁，z₂为一对共轭虚数根．
设z₁ =a+bi，a、b∈R，b≠0，则z₂ =a-bi，再根据 z₁²=z₂ ，可得 a²-b²+2abi=a-bi，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{-b}^{2}=a}\\{2ab=-b}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=±\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，∴z₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，z₂ =-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i； 或者 z₁=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，z₂ =-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
（2）由题意z₁=1+bi，|z₁|$≤\sqrt{2}$，可得 1+b²≤2，即 0＜b²≤1．
由ω=z₂+3=z₁² +3=1-b²+2bi+3=4-b²+2bi，
可得|ω|=$\sqrt{{（4{-b}^{2}）}^{2}{+（2b）}^{2}}$=$\sqrt{{{（b}^{2}-2）}^{2}+12}$∈[$\sqrt{13}$，4），
即|ω|的取值范围为：[$\sqrt{13}$，4）．

点评 本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理，两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的运算，二次函数的性质，属于基础题．