设等差数列{an}的公差d≠0,数列{bn}为等比数列,若a1=b1=a,a3=b3,a7=b5
(1)求数列{bn}的公比q;
(2)将数列{an},{bn}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn},是否存在正整数λ,μ,ω(其中λ<μ<ω)使得λ,μ,ω和cλ+λ,cμ+μ,cω+ω均成等差数列?若存在,求出λ,μ,ω的值,若不存在,请说明理由.
【答案】
分析:(1)设{b
n}的公比为q,依题意,由
可求得q=±
;
(2)若{a
n}与{b
n}有公共项,不妨设a
n=b
m,由于m为奇数,且n=
,令m=2k-1(k∈N
*),可求得b
m=a•2
k-1,于是有c
n=2
n-1a,假设存在正整数λ,μ,ω(其中λ<μ<ω)满足题意,设p=λ,q=μ,r=ω则
,利用基本不等式可求得q>
,与题设q=
矛盾,从而可得结论.
解答:解:(1)设{b
n}的公比为q,由题意
,即
---------------------------------------------(2分)
q=1不合题意,故
=
,解得q
2=2,
∴q=±
----------------(4分)
(2)若{a
n}与{b
n}有公共项,不妨设a
n=b
m,
由(2)知:m为奇数,且n=
,
令m=2k-1(k∈N
*),则b
m=a•
=a•2
k-1,
∴c
n=2
n-1a---------------------------------------------------------------(12分)
若存在正整数λ,μ,ω(其中λ<μ<ω)满足题意,
设p=λ,q=μ,r=ω则
,
∴2
q=2
p-1+2
r-1,又2
p-1+2
r-1≥2
=
(当且仅当p=r时取“=”)
又p≠r,
∴又2
p-1+2
r-1>
----------------------(14分)
又y=2
x在R上增,
∴q>
.与题设q=
矛盾,
∴不存在λ,μ,ω满足题意.------------------------------------------(16分)
点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,考查方程思想与运算求解的能力和推理论证的能力,属于难题.