Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面，，，是中点，是中点，是线段上一动点.

（1）当为中点时，求证：平面平面；

（2）当平面时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，当为中点时，结合，可证平面，进而证明结论；

（2）过点作的平行线，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定点坐标，以及平面和平面的法向量坐标，利用垂直平面的法向量，求出点坐标，再求出平面的法向量坐标，由空间向量面面角公式，即可求解.

（1）证明：，

为等腰直角三角形，当为中点时，.

平面平面.

且都在平面中，平面.

平面，平面平面.

（2）以点为坐标原点，所在的直线，

过点与平行的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

，，，，

，.，在线段上，.

，，

，是平面的法向量，

当平面时，，，

即，为平面的法向量.

设为平面的法向量，

，，

，，

不妨设，则，.

.

二面角的余弦值为.