Question

【题目】已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点满足．

①证明：为定值；

②设Q是直线上的动点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①见解析②3

【解析】

（1）由题意可得又过一点，及，，之间的关系求出，，进而求出椭圆的方程；

（2）①由（1）可得右焦点，，的坐标，求出向量的模，及向量的模可证得为定值；

②由题意方程可得为右准线，设的坐标，求出直线，的直线与椭圆联立求出，的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得用，的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值.

解：（1）由题意可得，，，

解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）可得，，，

①因为为椭圆C上的动点，

点满足，所以；

所以

，

所以：，

所以可证为定值2．

②由题意设，所以，

所以直线的方程为：，

联立直线与椭圆的方程：

整理可得：，

所以，所以，

同理，所以直线的方程：，

整理可得：，

所以，所以，

因为为右准线，

所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率，

可得：

，

当且仅当，即时取等号．

所以的最小值为3．