Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）证明：当时，方程在区间上只有一个解；

（Ⅱ）设，其中.若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（1）设，，求出，判断函数在区间上单调递增，由，，利用零点存在性定理即可证出.

（2）设，，求出，由（1）不妨的零点为，从而可判断在区间上单调情况，进而可得出函数的最小值为，由，得，代入可得，由即可求解.

（Ⅰ）设，.

，当时，，

因此函数在区间上单调递增.

且，.

所以在区间上只有一个零点，

方程在区间上只有一个解.

（Ⅱ）设，，定义域为，

，

令，则，

由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，且只有一个零点，

不妨设的零点为，则，

所以，与在区间上的情况如下：

	-	0	+

所以，函数的最小值为，，

由，得，所以.

依题意，即，解得.所以，的取值范围为.