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函数y=f(x),x∈D,其中D≠∅.若对任意x∈D,f(|x|)=|f(x)|,则称y=f(x)在D内为对等函数.
(1)指出函数y=
x
,y=x3,y=2x在其定义域内哪些为对等函数;
(2)试研究对数函数y=logax(a>0且a≠1)在其定义域内是否是对等函数?若是,请说明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使y=logax在所给集合内成为对等函数;
(3)若{0}⊆D,y=f(x)在D内为对等函数,试研究y=f(x)(x∈D)的奇偶性.
(1)y=
x
,y=x3是对等函数;(4分)
(2)研究对数函数y=logax,其定义域为(0,+∞),所以loga|x|=logax,又|logax|≥0,所以当且仅当logax≥0时f(|x|)=|f(x)|成立.所以对数函数y=logax在其定义域(0,+∞)内不是对等函数.(6分)
当0<a<1时,若x∈(0,1],则logax≥0,此时y=logax是对等函数;
当a>1时,若x∈[1,+∞),则logax≥0,此时y=logax是对等函数;
总之,当0<a<1时,在(0,1]及其任意非空子集内y=logax是对等函数;当a>1时,在[1,+∞)及其任意非空子集内y=logax是对等函数.(10分)
(3)对任意x∈D,讨论f(x)与f(-x)的关系.
1)若D不关于原点对称,如y=
x
虽是对等函数,但不是奇函数或偶函数;(11分)
2)若D={0},则f(0)=|f(0)|≥0.当f(0)=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当f(0)>0时,f(x)是偶函数.(13分)
3)以下均在D关于原点对称的假设下讨论.
当x>0时,f(|x|)=f(x)=|f(x)|≥0;
当x<0时,f(|x|)=f(-x)=|f(x)|,若|f(x)|=f(x),则有f(-x)=f(x);此时,当x>0时,-x<0,令-x=t,则x=-t,且t<0,由前面讨论知,f(-t)=f(t),从而f(x)=f(-x);
综上讨论,当x<0时,若f(x)≥0,则f(x)是偶函数.(15分)
若当x<0时,f(x)≤0,则f(|x|)=f(-x)=|f(x)|=-f(x);此时,当x>0时,-x<0,令-x=t,则x=-t,且t<0,由前面讨论知,f(-t)=-f(t),从而f(x)=-f(-x);
若f(0)=0,则对任意x∈D,都有f(-x)=-f(x).
综上讨论,若当x<0时,f(x)≤0,且f(0)=0,则f(x)是奇函数.若f(0)≠0,则f(x)不是奇函数也不是偶函数.(18分)
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•黄埔区一模)对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”;若f(2x)≥af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“类P数对”.设函数f(x)的定义域为R+,且f(1)=3.
(1)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,求f(2n)(n∈N*);
(2)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时f(x)=k-|2x-3|,求f(x)在区间[1,2n)(n∈N*)上的最大值与最小值;
(3)若f(x)是增函数,且(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,试比较下列各组中两个式子的大小,并说明理由.
①f(2-n)与2-n+2(n∈N*);
②f(x)与2x+2(x∈(0,1]).

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(选作题)定义在(-1,1)上的函数y=f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)如果当x∈(-1,0)时,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;
(3)在(2)的条件下解不等式:f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)>0

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(2011•顺义区二模)对于定义域分别为M,N的函数y=f(x),y=g(x),规定:
函数h(x)=
f(x)•g(x),当x∈M且x∈N
f(x),当x∈M且x∉N
g(x),当x∉M且x∈N

(1)若函数f(x)=
1
x+1
,g(x)=x2+2x+2,x∈R
,求函数h(x)的取值集合;
(2)若f(x)=1,g(x)=x2+2x+2,设bn为曲线y=h(x)在点(an,h(an))处切线的斜率;而{an}是等差数列,公差为1(n∈N*),点P1为直线l:2x-y+2=0与x轴的交点,点Pn的坐标为(an,bn).求证:
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5

(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,2π],请问,是否存在一个定义域为R的函数y=f(x)及一个α的值,使得h(x)=cosx,若存在请写出一个f(x)的解析式及一个α的值,若不存在请说明理由.

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(2012•浦东新区二模)已知函数y=f(x),x∈D,如果对于定义域D内的任意实数x,对于给定的非零常数m,总存在非零常数T,恒有f(x+T)>m•f(x)成立,则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数,周期为T.若恒有f(x+T)=m•f(x)成立,则称函数f(x)是D上的m级类周期函数,周期为T.
(1)试判断函数f(x)=log
12
(x-1)
是否为(3,+∞)上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由;
(2)已知函数f(x)=-x2+ax是[3,+∞)上的周期为1的2级类增周期函数,求实数a的取值范围;
(3)下面两个问题可以任选一个问题作答,如果你选做了两个,我们将按照问题(Ⅰ)给你记分.
(Ⅰ)已知T=1,y=f(x)是[0,+∞)上m级类周期函数,且y=f(x)是[0,+∞)上的单调递增函数,当x∈[0,1)时,f(x)=2x,求实数m的取值范围.
(Ⅱ)已知当x∈[0,4]时,函数f(x)=x2-4x,若f(x)是[0,+∞)上周期为4的m级类周期函数,且y=f(x)的值域为一个闭区间,求实数m的取值范围.

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(2009•卢湾区一模)将奇函数的图象关于原点(即(0,0))对称这一性质进行拓广,有下面的结论:
①函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要条件是y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称.
②函数y=f(x)满足F(x)=f(x+a)-f(a)为奇函数的充要条件是y=f(x)的图象关于点(a,f(a))成中心对称(注:若a不属于x的定义域时,则f(a)不存在).
利用上述结论完成下列各题:
(1)写出函数f(x)=tanx的图象的对称中心的坐标,并加以证明.
(2)已知m(m≠-1)为实数,试问函数f(x)=
x+m
x-1
的图象是否关于某一点成中心对称?若是,求出对称中心的坐标并说明理由;若不是,请说明理由.
(3)若函数f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的图象关于点(
2
3
,f(
2
3
))
成中心对称,求t的值.

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