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    （2009•卢湾区一模）将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
    ①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
    ②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
    利用上述结论完成下列各题：
    （1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
    （2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=
    x+m
    x-1
    的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
    （3）若函数f(x)=(x-
    2
    3
    )(|x+t|+|x-3|)-4    的图象关于点(
    2
    3
    ，f(
    2
    3
    ))    成中心对称，求t的值．
    分析：（1）根据正切函数图象观察出图象的对称中心的坐标为(
    kπ
    2
    ，0)    再利用①进行证明．
    （2）将函数f(x)=
    x+m
    x-1
    化成f(x)=1+
    m+1
    x-1
    ，据其简图可知对称中心的坐标为（1，1）．再利用②进行证明．
    （3）若函数f(x)=(x-
    2
    3
    )(|x+t|+|x-3|)-4    的图象关于点(
    2
    3
    ，f(
    2
    3
    ))    成中心对称，则）由结论②F(x)=f(x+
    2
    3
    )-f(
    2
    3
    )=x(|x+
    2
    3
    +t|+|x-
    7
    3
    |)    为奇函数，从而转化为h(x)=|x+
    2
    3
    +t|+|x-
    7
    3
    |    ，求t的取值即可．
    解答：解：（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(
    kπ
    2
    ，0)    （k∈N*）．    …（2分）
    当k=2n（n∈N*）时，tan(
    kπ
    2
    +x)+tan(
    kπ
    2
    -x)=tanx-tanx=0    ；
    当k=2n+1（n∈N*）时，tan(
    kπ
    2
    +x)+tan(
    kπ
    2
    -x)=-cotx+cotx=0    ，得证．                   …（6分）
    （2）由f(x)=
    x+m
    x-1
    =1+
    m+1
    x-1
    ，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=
    x+1+m
    x+1-1
    +
    1-x+m
    1-x-1
    =
    x+1+m
    x
    +
    -x+1+m
    -x
    =2    ，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=
    x+m
    x-1
    的图象关于点（1，1）成中心对称．   …（12分）
    （3）由结论②F(x)=f(x+
    2
    3
    )-f(
    2
    3
    )=x(|x+
    2
    3
    +t|+|x-
    7
    3
    |)    为奇函数，…（14分）
    其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+
    2
    3
    +t|+|x-
    7
    3
    |    为偶函数
    于是，由h（x）=h（-x）可得|x+
    2
    3
    +t|+|x-
    7
    3
    |=|x-(
    2
    3
    +t)|+|x+
    7
    3
    |    ，…（16分）
    因此，
    2
    3
    +t=
    7
    3
    ，解得t=
    5
    3
    为所求．                                 …（18分）
    点评：本题考查阅读理解、分析解决问题、转化、计算的能力．用到的知识有三角函数图象的对称中心，分式函数的对称中心，函数的奇偶性判断．三角函数诱导公式．
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