Question

设椭圆 C₁：（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C₂： 的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 F₂的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线 l，使得 ，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定椭圆的一个顶点坐标，结合离心率，即可求得椭圆C的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量数量积公式，即可求得结论．
解答：解：（1）抛物线 C₂： 的焦点坐标为（0，），
∴椭圆的一个顶点为（0，），即b=
∵，∴a=2，
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意，直线l与椭圆必相交
①斜率不存在时，直线l为x=1，代入椭圆方程，可得y=，∴，不合题意；
②斜率存在时，设方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=+k²（-+1）==-2
∴k=，
故直线l的方程为y=（x-1）或y=-（x-1）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．