Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设E(0，

1

2

)，是否存在斜率为k （k≠0）的直线l与椭圆C₁交于A、B两点，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，且|MF₂|=

5

3

，可求出F₂，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C₁的方程；
（2）设AB中点P（x₀，y₀）和直线l的方程为y=kx+m（k≠0），由|AE|=|BE|等价于PE⊥AB，联立直线和椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和△＞0即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）由已知|MF2|=xm+1=

5

3

得xm=

2

3

代入y²=4x 得ym=

2 6

3

，
即M(

2

3

，

2 6

3

)代入椭圆方程

4

9a2

+

24

9b2

=1
又1=a²-b² 解得a²=4，b²=3，
故椭圆C₁的方程为

x2

4

+

b2

3

=1
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1•x2=

4m2-12

3+4k2

．
直线l与椭圆C，有两个不同公共点的充要条件是△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即4k²-m²+3＞0（*）
设AB中点P（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

=

-4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，
|AE|=|BE|等价于PE⊥AB，
即

EP

•

AB

=0，

EP

=(x0，y0-

1

2

)=(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

-

1

2

)
（1，k）为

AB

的一个方向向量，故-

4km

3+4k2

+

3mk

3+4k2

-

1

2

k=0，∴m=

-(3+4k2)

2

，
代入（*）得3+4k2-

(3+4k2)2

4

＞0，∵3+4k²≠0，∴4-（3+4k²）＞0，故k2＜

1

4

-

1

2

＜k＜

1

2

，
因此存在合条件的直线l，其斜率k的范围为(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)．

点评：此题是个难题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，△＞0．体现了数形结合和转化的思想方法．