Question

设函数f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}．
（1）当a在（0，+∞）变化时，求I的长度的最大值（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）；
（2）给定一个正数k，当a在[k，1+2k]变化时，I长度的最小值为

5

26

，求k的值；
（3）若f（x+1）+f（x）≤

2

3

f（1）对任意x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度，然后利用基本不等式可求出I的长度的最大值；
（2）利用导数研究函数在区间[k，1+2k]上的单调性，讨论k，根据I长度的最小值为

5

26

，建立关系式，从而求出k的值；
（3）根据函数f（x）的解析式将f（x+1）+f（x）≤

2

3

f（1）对任意x恒成立转化成，6（1+a²）x²+6（1-a+a²）x+a²+1-a≥0，对任意x恒成立，然后利用二次函数恒成立的方法求解即可．

解答：解：（1）∵方程ax-（1+a²）x²=0（a＞0）有两个实根x₁=0，x₂=

a

1+a2

＞0，
∴f（x）＞0的解集为{x|x₁＜x＜x₂}，
∴区间I=（0，

a

1+a2

），区间长度为

a

1+a2

，
∵

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

≤

1

2 a× 1 a

=

1

2

，当且仅当a=1时取等号，
∴I的长度的最大值为

1

2

；
（2）令I的长度为g（a）=

a

1+a2

，g′（a）=

1-a2

(1+a2)2

，
令g′（a）=0，得a=1，
①当0＜k≤1时，
当k≤a＜1时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，
当1＜a≤1+2k时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
∴当k≤a≤1+2k时，g（a）的最小值必定在a=k或a=1+2k处取得，
当g（k）=

k

1+k2

=

5

26

时，解得k=

1

5

或5（舍去），
当g（1+2k）=

1+2k

1+(1+2k)2

=

5

26

，解得k=2或-

2

5

，不符合题意，
②当k＞1时，
当k≤a≤1+2k时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
∴当a=1+2k时，g（a）取最小值

5

26

，即g（1+2k）=

1+2k

1+(1+2k)2

=

5

26

，解得k=2或-

2

5

（舍去），
综上所述：k=

1

5

或2；
（3）∵f（x）=ax-（1+a²）x²（a＞0），f（x）＞0，＜═＞0＜x＜

a

1+a2

，
∵f（x+1）+f（x）≤

2

3

f（1），
∴a（x+1）-（1+a²）（x+1）²+ax-（1+a²）x²≤

2

3

[a-（1+a²）]，
整理得6（1+a²）x²+6（1-a+a²）x+a²+1-a≥0，对任意x恒成立，
∴△=[6（1-a+a²）]2-4×6（1+a²）（a²+1-a）≤0，即a²-3a+1≤0，
解得：

3- 5

2

≤a≤

3+ 5

2

，
∴a的取值范围是[

3- 5

2

，

3+ 5

2

]．

点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．属于难题．