Question

设函数f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x+m)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

6

]时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）滑进函数f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

6

）+m+1，由此求得周期，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出函数的单调增区间，即可得到在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

6

]时，求得m+2≤f（x）≤m+3，再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得  m+2＞-4且 m+3＜4，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x+m=cos2x+

3

sin2x+m+1=2sin（2x+

π

6

）+m+1．
故函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
故在[0，π]上的单调递增区间为[0，

π

6

]、[

2π

3

，π]．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

6

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，故有

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，故 m+2≤f（x）≤m+3．
再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得  m+2＞-4且 m+3＜4，解得-6＜m＜1，
故实数m的取值范围为（-6，1）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．