Question

（1）过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等．这样的直线l可作几条？
（2）过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d．这样的直线l可作几条？
（3）与点A、B距离同为d的直线l可作几条？
（4）过点A、B分别作直线l₁∥l₂，使l₁、l₂距离为d．这样的直线l₁、l₂可作几组？
（5）过l₁上-A点作直线l被两平行直线l₁、l₂，截得线段为AB，l₁、l₂的距离为d．这样的直线l可作几条？

Answer 1

分析：（1）当点P为线段AB的中点时，可作无数条．当点P在直线AB上，但点P不是线段AB的中点时，可作一条，就是直线AB．当点P不在直线AB上时，可作2条．
（2）当d＞PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作0条．当d=PQ时，这样的直线l可作1条．当d＜PQ时，这样的直线l可作2条．
（3）当d＞

1

2

AB时，与点A、B距离同为d的直线l可作2条，它们都和AB平行；当d=

1

2

AB时，可作3条，当d＜

AB

2

时，可作4条．
（4）当d＞AB时，这样的直线l₁、l₂可作0条．当d=AB时，这样的直线l₁、l₂可作2条．d＜AB时，这样的直线l₁、l₂可作4条．
（5）当d=AB时，这样的直线l可作1条；当d＜AB时，这样的直线l可作2条；当d＞AB时，这样的直线l可作0条．

解答：解：（1）当点P为线段AB的中点时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作无数条．
当点P在直线AB上，但点P不是线段AB的中点时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作一条，就是直线AB．
当点P不在直线AB上时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作2条，一条和AB平行，另一条过线段AB的中点．
（2）当d＞PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作0条；
当d=PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作1条．
当d＜PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作2条，直线PQ正好是这2条直线的角平分线．
（3）当d＞

1

2

AB时，与点A、B距离同为d的直线l可作2条，它们都和AB平行；
当d=

1

2

AB时，与点A、B距离同为d的直线l可作3条，有2条和AB平行，第三条为线段AB的中垂线；
当d＜

AB

2

时，与点A、B距离同为d的直线l可作4条，有2条和AB平行，另外的2条过线段AB的中点．
（4）当d＞AB时，过点A、B分别作直线l₁∥l₂，使l₁、l₂距离为d．这样的直线l₁、l₂可作0条；
当d=AB时，过点A、B分别作直线l₁∥l₂，使l₁、l₂距离为d．这样的直线l₁、l₂可作2条，
d＜AB时，过点A、B分别作直线l₁∥l₂，使l₁、l₂距离为d．这样的直线l₁、l₂可作4条．
（5）当d=AB时，过l₁上-A点作直线l被两平行直线l₁、l₂，截得线段为AB，l₁、l₂的距离为d，这样的直线l可作1条；
当d＜AB时，过l₁上-A点作直线l被两平行直线l₁、l₂，截得线段为AB，l₁、l₂的距离为d，这样的直线l可作2条；
当d＞AB时，过l₁上-A点作直线l被两平行直线l₁、l₂，截得线段为AB，l₁、l₂的距离为d．这样的直线l可作0条．

点评：本题主要考查空间两条直线的位置关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．