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已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程;
(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.
分析:(1)设抛物线的标准方程为 x2=2py,把点P(2,1)代入可得 p 值,从而求得抛物线的标准方程.
(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2 符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出△=0,即可求出结果.
(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为 y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.
解答:解:(1)设抛物线的标准方程为  x2=2py,把点P(2,1)代入可得 4=2p,∴p=2,
故所求的抛物线的标准方程为x2=4y.
(2)i当斜率不存在时,直线方程为x=2 符合题意
ii当斜率存在时,设直线方程为:y-1=k(x-2)即y=kx-2k+1
联立方程可得,
y=kx-2k+1
x2=4y
整理可得x2-4kx+8k-4=0
∵直线与抛物线只有一个公共点
∴△=16k2-32k+16=0
∴k=1
综上可得,x-y-1=0,x=2,
(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为 y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程为x2=4y 可得
x2-4kx+4k-4=0,∴x1+x2=4k=2,∴k=
1
2
,∴AB的方程为 y-1=
1
2
(x-1),
即x-2y+1=0.
点评:本题考查抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系,线段的中点公式的应用,得到 x1+x2=4k=2,是解题的关键.
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