Question

已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为

15

．
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线y=2x-5无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线y=2x-5的距离最短．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的方程为y²=2px，由

y2=2px y=2x+1

，得4x2-(2p-4)x+1=0，x1+x2=

p-2

2

，x1x2=

1

4

，由抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为

15

能求出抛物线方程．
（2）法一、抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，设点P(-

t2

4

，t)为抛物线y²=-4x上的任意一点，点P到直线y=2x-5的距离为d，则d=

|2×(- t2 4 )-t-5|

5

=

t2+2t+10

2 5

，故当t=-1时，d取得最小值．
法二、抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，设与直线y=2x-5平行且与抛物线y²=-4x相切的直线方程为y=2x+b，
切点为P，则点P即为所求点，由此能求出结果．

解答：解：（1）设抛物线的方程为y²=2px，则

y2=2px y=2x+1

，
消去y得4x2-(2p-4)x+1=0，x1+x2=

p-2

2

，x1x2=

1

4

…2
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

( p-2 2 )2-4× 1 4

=

15

，…4
则

p2 4 -p

=

3

，p²-4p-12=0，
∴p=-2，或p=6，
∴y²=-4x，或y²=12x…6
（2）解法一、显然抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，
设点P(-

t2

4

，t)为抛物线y²=-4x上的任意一点，
点P到直线y=2x-5的距离为d，
则d=

|2×(- t2 4 )-t-5|

5

=

t2+2t+10

2 5

…10
当t=-1时，d取得最小值，
此时P(-

1

4

，-1)为所求的点          …12
解法二、显然抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，
设与直线y=2x-5平行且与抛物线y²=-4x相切的直线方程为y=2x+b，
切点为P，则点P即为所求点．…7
由

y=2x+b y2=-4x

，
消去y并化简得：4x²+4（b+1）x+b²=0，…9
∵直线与抛物线相切，
∴△=16（b+1）²-16b²=0，
解得：b=-

1

2

把b=-

1

2

代入方程4x²+4（b+1）x+b²=0并解得：x=-

1

4

，∴y=-1
故所求点为P(-

1

4

，-1)．                                             …12

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．