Question

已知抛物线y=4x²-4（m+2）x+m²+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出抛物线与x轴的两交点坐标，利用根与系数关系得到抛物线与x轴的两个交点间的距离，然后代入三角形的面积公式，配方后求得三角形ABC面积S的最大值．

解答： 解：抛物线y=4x²-4（m+2）x+m²+4m-5所对应的方程为4x²-4（m+2）x+m²+4m-5=0，
△=[-4（m+2）]²-16（m²+4m-5）=144＞0，
设抛物线与x轴的交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），
则根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=m+2，x₁x₂=

1

4

（m²+4m-5），
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（m+2）²-（m²+4m-5）=9，
∴|x₁-x₂|=3．
抛物线与y轴的交点坐标为 （0，m²+4m-5）
∵-5＜m＜1，
∴m²+4m-5=（m+5）（m-1）＜0，
∴三角形ABC的高是（-m²-4m+5），
∴S_△ABC=

1

2

（-m²-4m+5）×3=-

3

2

（m+2）²+

27

2

∴m=-2时，函数有最大值，最大面积是

27

2

．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，关键是明确题中所给条件，借助于一元二次方程的根与系数关系求解，同时训练了利用配方法求二次函数最值，是中档题．