Question

已知集合H是满足下列条件的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）幂函数f（x）=x^-1是否属于集合H？请说明理由；
（2）若函数g（x）=lg

a

x2+1

∈H，求实数a的取值范围；
（3）证明：函数h（x）=2^x+x²∈H．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）集合M中元素的性质，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；
（2）根据f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；
（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．

解答： （1）解：若f（x）=x^-1∈H，则有

1

x0+1

=

1

x0

+1，即

x

2 0

+x0+1=0，
而此方程无实数根，所以f（x）=x^-1∉H．（4分）
（2）解：由题意lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

2

有实数解
即

a

(x0+1)2+1

=

a

x 2 0 +1

•

a

2

，也即(a-2)

x

2 0

+2ax0+2(a-1)=0有实数解．
当a=2时，有实数解x0=-

1

2

．
当a≠2时，应有△=4a2-8(a-2)(a-1)≥0⇒a∈[3-

5

，0)∪(0，3+

5

]．
综上得，a的取值范围为[3-

5

，3+

5

]．
（3）证明：∵h(x0)=2x0+

x

2 0

，h(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，h(1)=3，
∴h(x0+1)=h(x0)+h(1)?2x0+1+(x0+1)2=2x0+

x

2 0

+3?2x0+2x0-2=0
令m（x）=2^x+2x-2，∵m（x）在R上连续不断，且m（0）=-1＜0，m（1）=2＞0，
∴存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0成立．
∴存在x₀∈（0，1），使得h（x₀+1）=h（x₀）+h（1）成立．
∴h（x）∈H．

点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．