Question

已知函数f（x）=e^x-k-x，（x∈R）
（1）当k=0时，若函数g（x）=lg[f（x）+m]的定义域是R，求实数m的取值范围；
（2）当k＞1时，讨论函数f（x）在区间（k，2k）内的零点个数；
（3）若方程f（x）=x²+1在区间（-1，+∞）内有三个不等实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的定义域及其求法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数定义域为R，转化成研究 m＞x-e^x 恒成立，解出m即可．
（2）先研究函数在（k，2k）上的单调性，然后求f（k）与f（2k）并判定函数值的符号，根据零点存在性定理可得结论；
（3）由方程f（x）=x²+1在区间（-1，+∞）内有三个不等实根，可得

1+1＞e-1-k+1 e- 1 2 -k+ 1 2 ＞ 1 4 +1

，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可得函数f（x）=e^x -x，且f（x）+m＞0恒成立，
即 m＞x-e^x 恒成立．
令g（x）=x-e^x，则 g′（x）=1-e^x，在（0，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
在（-∞，0）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故g（x）的最大值为g（0）=-1，故有m＞-1，即实数m的取值范围（-1，+∞）．
（2）由函数f（x）=e^x-k-x，k＞0，可得f′（x）=e^x-k-1，
在（0，k）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（k，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
故函数f（x）在区间（k，2k）上是增函数．
再根据f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，
f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k，
∵f′（2k）=e^k-2＞0，f（x）在k＞1时单调增，
∴f（2k）＞e-2＞0
∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k，2k）内存在零点；
（3）∵方程f（x）=x²+1在区间（-1，+∞）内有三个不等实根，
∴

1+1＞e-1-k+1 e- 1 2 -k+ 1 2 ＞ 1 4 +1

，∴-1＜k＜-

1

2

-ln

3

4

．

点评：本题主要考查了函数的零点的问题，利用导数研究函数的单调性问题，属于难题．