Question

已知函数f（x）=x³-ax²-bx+a²（a＜0）在x=1时有极值10
（1）求a，b的值及函数的单调递增区间；
（2）求函数在[-3，3]的最大值及最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据极值的定义得出

f′(1)=0 f(1)=10

，解方程组得出a，b．所以f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），由f′（x）＞0得单调递增区间．
（2）分别求得函数在[-3，3]的极值和端点值，得出最大值及最小值

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-b，得出

f′(1)=0 f(1)=10

，即

3-2a-b=0 1-a-b+a2=10.

解得

a=3 b=-3

或

a=-4 b=11.

因为a＜0，所以a=-4，b=11
所以f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），由f′（x）＞0得，x＜-

11

3

或x＞1，
故增区间是(-∞，-

11

3

) ，(1，+∞)…（8分）
（2）由（1）得f（x）在[-3，3]上的增区间是[1，3]，减区间是[-3，1]，
f（-3）=58，f（1）=10，f（3）=46，故最大值是58，最小值是10…（12分）

点评：本题考查函数导数与单调性，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力，属基础题．