Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，试用这个结论证明：若-1＜x₁＜x₂，函数g（x）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

（x-x₁）+f（x₁），则对任意x∈（x₁+x₂），都有f（x）＞g（x）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用当x=0时，函数f（x）取得极大值，即可求得实数m的值；
（Ⅱ）令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x-x1)-f(x1)，则h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，根据函数f（x）在x∈（x₁，x₂）上可导，可得存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，从而可得函数的单调性，即可证明结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+1

+m．由f'（0）=0，得m=-1，此时f′(x)=-

x

x+1

．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故m=-1（6分）
（Ⅱ）令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x-x1)-f(x1)，
则h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．（8分）
函数f（x）在x∈（x₁，x₂）上可导，∴存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．（10分）
又f'（x）=

1

x+1

-1  ∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=

1

x+1

-

1

x0+1

=

x0-x

(x+1)(x0+1)

当x∈（x₁，x₀）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（x₁）=0；
当x∈（x₀，x₂）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）＞h（x₂）=0；
故对任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了学生的推理论证能力和逻辑思维能力，构造函数并由函数的导函数的符号判断函数在不同区间上的单调性是解答该题的关键，是难度较大的题目．