Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项的和S_n；
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，证明：

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）对（2）问中的T_n，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）利用等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”和数列的单调性即可得出；
（3）由T_n≤λa_n+1，得λ≥

1

4n+ 1 n +4

，记f(n)=

1

4n+ 1 n +4

，可知函数f（n）在n≥1，且n∈N^*时为减函数，即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵前3项和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
∴3a₁+3d=9，

a

2 2

=a1a5．
化为a₁+d=3，(a1+d)2=a1(a1+4d)．
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
（2）由

1

anan+1

=

1

an

-

1

an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)可得
Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∴Tn＜

1

2

．
易知，Tn在n≥1且n∈N*为单调增函数，
故Tn≥T1=

1

3

，
∴

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）由T_n≤λa_n+1，得λ≥

1

4n+ 1 n +4

，记f(n)=

1

4n+ 1 n +4

，
则易知函数f（n）在n≥1，且n∈N^*时为减函数，
∴f(n)max=f(1)=

1

9

，
∴λmin=

1

9

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．