Question

已知向量

a

=（cosx，cosx），

b

=（sinx，-cosx），设函数f（x）=2

a

•

b

+1
（Ⅰ）求函数 f（x）最的小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的表达式并化为一个角三角函数，求出它的最小正周期；
（Ⅱ）先判定f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的单调性，再求出f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

a

•

b

+1
=2（cosxsinx-cos²x）+1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）
∴2x-

π

4

∈[-

π

2

+2π，

π

2

+2kπ]，k∈Z；
∴x∈[kπ-

π

8

，

3π

8

+kπ]，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

8

，

3π

8

+kπ]，k∈Z；
同理，单调减区间是[kπ+

3π

8

，

7π

8

+kπ]，k∈Z；
∴f（x）在区间[

π

8

，

3π

8

]上为增函数，在区间[

3π

8

，

3π

4

]上为减函数；
且f（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

-

π

4

）=0，
f（

3π

8

）=

2

sin（2×

3π

8

-

π

4

）=

2

，
f（

3π

4

）=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1；
∴f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值为

2

，最小值为-1．

点评：本题考查了平面向量的数量积的计算问题和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．