Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当a=4，b=2时，求h（x）的极大值点；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P、Q两点，过线段PQ的中点做x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，证明：C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=4，b=2时，求导数，确定函数的单调性，即可求h（x）的极大值点；
（Ⅱ）设出点的坐标，写出直线的方程，根据直线平行，得到斜率之间的关系，构造新函数，对新函数求导，得到两个结论是矛盾的．

解答： （I）解：h（x）=lnx-2x²-2x
∴h′（x）=

-4x2-2x+1

x

…（2分）
令h′（x）=0，则4x²+2x-1=0，
解出x₁=

- 5 -1

4

，x₂=

5 -1

4

 …（3分）
∴h（x）在（0，

5 -1

4

）上为增函数，在（

5 -1

4

，+∞）上为减函数…（5分）
∴h（x）的极大值点为

5 -1

4

…（6分）
（II）证明：设点P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
则PQ的中点R的横坐标

x1+x2

2

C₁在点M处的切线的斜率为k₁=

2

x1+x2

C₂在点N处的切线的斜率为k₂=

x1+x2

2

+b
假设C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则斜率相等
即ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

设u=

x2

x1

＞1，
则lnu=

2(u-1)

1+u

①
令r（u）=lnu-

2(u-1)

1+u

（u＞1）
则r′（u）=

(u-1)2

u(1+u)2

∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞

2(u-1)

1+u

②
∵①与②矛盾，
∴假设不成立，故C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评：本题考查函数的导函数的应用，本题是一个压轴题目，这个题目可以出现在高考卷的最后两个题目的位是一个比较困难的题目．