Question

已知f（x）=2cos（3π-

x

2

）cos（

π

2

-

x

2

）+sin²（π+

x

2

）-cos²（π+

x

2

）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若g（x）=f（

π

12

-x），求不等式g（x）＜1的解集；
（3）若不等式|f（x）-a|＜2当x∈[0，π]时恒成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数公式化f（x）为含一种角的三角函数形式，利用三角函数的性质求递减区间；
（2）g(x)=f(

π

12

-x)=

2

sin(x-

π

3

)＜1，利用三角函数的性质求解，
（3））|f（x）-a|＜2?a-2＜f（x）＜a+2，转化为求出f（x）的最值，建立不等式组求解．

解答： 解：f(x)=-2cos

x

2

sin

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

=-sinx-cosx=-

2

sin(x+

π

4

)，
（1）f（x）递减?y=sin(x+

π

4

)递增，
∴2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间为(2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

)（k∈Z）；  
（2）g(x)=f(

π

12

-x)=

2

sin(x-

π

3

)＜1，∴sin(x-

π

3

)＜

2

2

∴2kπ-

5π

4

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

4

∴解集为：{x|2kπ-

11π

12

≤x≤2kπ+

7π

12

}（k∈Z）；
（3）|f（x）-a|＜2?a-2＜f（x）＜a+2，
∵x∈[0，π]∴x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin(x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]⇒f(x)=-

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，1]
∴

a-2＜- 2 a+2＞1

⇒-1＜a＜2-

2

．

点评：本题考查三角函数图象与性质，属于基础题．