Question

已知函数f（x）=lnx+x²+mx．
（Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若m=-1，△ABC的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a²+c²＜b²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的极小值；
（Ⅱ）m=-1时，f（x）为定义域上的增函数，利用

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），求得

BA

•

BC

＜0，从而可得∠ABC为钝角，利用余弦定理可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2x+m，
m=-3时，f′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

=0，得x=

1

2

或x=1．
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增		减		增

f(x)极大值=f(

1

2

)=-ln2-

5

4

，f（x）_极小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）m=-1时，f（x）为定义域上的增函数，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且x₁＜x₂＜x₃，
∴y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴x₁＜x₂＜x₃，y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

•

BC

＜0
∴cos＜

BA

，

BC

＞＜0
∴∠ABC为钝角
∴

a2+c2-b2

2ac

＜0
∴a²+c²＜b²．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，正确运用向量是关键．