Question

已知f（x）=（x³-ax）ln（x²+1-a）（a∈R）
（Ⅰ）若方程f（x）=0有3个不同的根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a，使得f（x）在（0，1）上恰有两个极值点x₁，x₂，且满足x₂=2x₁，若存在，求实数a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）若方程f（x）=0有3个不同的根，则方程x²=a有两个不同的根，x²+1-a＞0，且要保证x能取到0，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求导数，换元，存在t₁∈（0，

a

2

），使得g（t₁）=0，另外有a∈（

a

2

，1），使得g（a）=0，再利用反证法，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=0得：x³-ax=0或ln（x²+1-a）=0
可得x=0或x²=a且x²+1-a＞0
∵方程f（x）=0有3个不同的根，
∴方程x²=a有两个不同的根
∴a＞0
又∵x²+1-a＞0，且要保证x能取到0，
∴1-a＞0 即a＜1
∴0＜a＜1．
（Ⅱ）∵f′（x）=（3x²-a）ln（x²+1-a）+

2x2(x2-a)

x2+1-a

令x²=t，设g（t）=（3t-a）ln（t+1-a）+

2t(t-a)

t+1-a

∴g（0）=-aln（1-a）＞0，g（1）=（3-a（ln（2-a）+

2(1-a)

2-a

∵0＜a＜1，
∴2-a＞1，
∴g（1）＞0．g（a）=0，g（

a

2

）=

a

2

ln（1-

a

2

）-

a2

2-a

∵0＜a＜1，∴g（

a

2

）＜0
∴存在t₁∈（0，

a

2

），使得g（t₁）=0，另外有a∈（

a

2

，1），使得g（a）=0
假设存在实数a，使得f（x）在（0，1）上恰有两个极值点x₁，x₂，且满足x₂=2x₁，
则存在x₁∈（0，

a 2

），使得f′（x₁）=0，另外有f′（

a

）=0，即x₂=

a

∴x₁=

a

2

，∴f′（

a

2

）=0，即（1-

3

4

a）ln（1-

3

4

a）+

3

2

a=0 （*）
设h（a）=（1-

3

4

a）ln（1-

3

4

a）+

3

2

a
∴h′（a）=-

3

4

aln（1-

3

4

a）+

3

4

∵0＜a＜1，∴h′（a）＞0，
∴h（a）在（0，1）上是增函数
∴h（a）＞h（0）=0
∴方程（*）无解，
即不存在实数a，使得f（x）在（0，1）上恰有两个极值点x₁，x₂，且满足x₂=2x₁．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查反证法的运用，有难度．