Question

已知函数f（x）=x-alnx-1（a∈R），g（x）=

xeb

ex

（b∈R），且函数g（x）的最大值为1，
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）有唯一零点，且对任意的x≥1，不等式f（x）-g（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）g′(x)=

(1-x)eb

ex

，易知x=1是最大值点，利用g（1）=1解出b．
（2）f′(x)=

x-a

x

(x＞0)，分a≤0，a＞0时研究单调性以及零点个数，得出a≤0，或a=1，利用f（1）-g（1）≥a恒成立能够缩小a的范围到a≤-1．令h（x）=f（x）-g（x）-a，转化为h（x）_min≥0．

解答： 解：（1）g′(x)=

(1-x)eb

ex

，当（-∞，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
当（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g(x)max=g(1)=

eb

e

=1
所以e^b=e所以b=1
（2）f′(x)=

x-a

x

(x＞0)
1）a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，符合题意；
2）a＞0时，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）_min=f（a）=a-lna-1，函数f（x）有唯一零点，则a-lna-1=0，所以a=1，
综上所述，a≤0，或a=1时，函数f（x）有唯一零点．对任意的x≥1，不等式f（x）-g（x）≥a恒成立，
所以f（1）-g（1）≥a恒成立，∴-

eb

e

≥a，又b=1，∴a≤-1．
令h（x）=f（x）-g（x）-a=x-alnx-1-xe^1-x-a，则h′（x）=1-

a

x

-[e^1-x-xe^1-x]=1-

a

x

-（1-x）e^1-x（x≥1），
∵a≤-1，x≥1，∴-

a

x

＞0，-（1-x）e^1-x＞0，∴h′（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，
h（x）_min=h（1）=-a-1≥0，∴a≤-1，a的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力．