Question

已知函数f（x）=[ax²+（a+1）x+1]e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）是区间[-1，1]上的单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求出函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系，即可求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）是区间[-1，1]上的单调递增函数，等价为f′（x）≥0恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）极大值f（-3）=4e^-3，极意，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立．小值f（-1）=0
（2）f′（x）=[ax²+（3a+1）x+a+2]e^x，
若f（x）是区间[-1，1]上的单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即ax²+（3a+1）x+a+2≥0在[-1，1]上恒成立．
令h（x）=ax²+（3a+1）x+a+2，当a=0时，符合条件
当a＜0时，

h(-1)≥0 h(1)≥0

，解得-

3

5

≤a＜0，
当a＞0时h（-1）≥0，解得0＜a≤1，
综上a的取值范围是[-

3

5

，1]

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数的极值和单调性与导数之间的关系．