Question

是否存在过点P（4，0）的直线与圆C：x²+y²=4交于A，B两点，使以A，B为直径的圆恰好过原点，若存在，求出直线的方程．若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：存在，分两种情况考虑：当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，显然不成立；当直线斜率存在时，设为y=kx-4k，与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x₁+x₂与x₁x₂，根据题意得到原点到直线的距离等于弦长的一半，求出k的值，即可确定出直线方程．

解答： 解：存在，分两种情况考虑：
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，显然不成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-4）=kx-4k，
联立得：

y=kx-4k x2+y2=4

，
消去y得：（1+k²）x²-8k²x+16k²-4=0，
∴x₁+x₂=

8k2

1+k2

，x₁x₂=

16k2-4

1+k2

，
根据题意得：原点到直线的距离等于弦长的一半，
∵|AB|=

k2+1

|x₁-x₂|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

16-48k2 1+k2

，d=

|4k|

1+k2

=

16k2 1+k2

，
∴d=

1

2

|AB|，即

16k2 1+k2

=

1

2

×

16-48k2 1+k2

，
整理得：64k²=16-48k²，
解得：k=±1，
则直线方程为y=x-4或y=-x+4．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意得到原点到直线的距离等于弦长的一半是解本题的关键．