Question

已知f（x）=cos²x+4m[sin²（

π

4

+

x

2

）-1]，当x∈（0，

π

2

）时，有f（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）=cos²x-2+2m（sinx-1）=-（sinx-m）²+m²-2m-1，当0＜m＜1时，f(x)max=m2-2m-1＜0；当m≥1时，f（x）＜-（1-m）²+m²-2m-1=-2＜0恒成立；当m≤0时，f（x）＜-2m-1．由此能求出m的取值范围．

解答： 解：2sin2(

π

4

+

x

2

)-2=1-cos(

π

2

+x)-2=sinx-1…（2分）
f（x）=cos²x-2+2m（sinx-1）
=1-sin²x-2+2m（sinx-1）
=-（sinx-m）²+m²-2m-1…（4分）
因为x∈(0，

π

2

)，所以sinx∈（0，1），
于是当0＜m＜1时，f(x)max=m2-2m-1＜0，
解得1-

2

＜m＜1+

2

，
所以0＜m＜1，…（6分）
当m≥1时，f（x）＜-（1-m）²+m²-2m-1=-2＜0恒成立，
所以m≥1，…（9分）
当m≤0时，f（x）＜-（0-m）²+m²-2m-1，
即f（x）＜-2m-1，
于是f（x）＜-2m-1≤0，解得m≥-

1

2

，
∴-

1

2

≤m≤0，
综上实数m的取值范围是[-

1

2

，0]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质和分类讨论思想的合理运用．