Question

已知函数f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，求a、b的值；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2，求证：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由于在x=2处的切线方程为y=7x-20，可得切点（2，-6）．f′（x）=ax²+bx-a²，f′（2）=7，f（2）=-6．联立解得即可．
（2）由x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，可知：ax²+bx-a²=0的两个根．利用根与系数的关系可得：b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），因此b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，利用|x₁|+|x₂|=2．可得

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x₁x₂，b2=(x1x2)2（4+4x₁x₂）=a²（4-4a）=4a²-4a³（a＞0）．设y=b²=4a²-4a³，则y′=8a-12a²，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）∵在x=2处的切线方程为y=7x-20，∴切点（2，-6）．
f′（x）=ax²+bx-a²，
∴4a+2b-a²=7，-6=

8

3

a+2b-2a2，又a＞0．
联立解得a=3，b=2．
（2）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是ax²+bx-a²=0的两个根，
∴x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=-a．
∴b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），
∴b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，
∵|x₁|+|x₂|=2，
∴

x

2 1

+

x

2 2

+2|x1x2|=4，
∵a＞0，∴x₁x₂=-a＜0．
∴

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x₁x₂，
∴b2=(x1x2)2（4+4x₁x₂）=a²（4-4a）=4a²-4a³（a＞0）．
设y=b²=4a²-4a³，则y′=8a-12a²，
令y′=0，又a＞0，解得a=

2

3

．
当a＞

2

3

时，y′＜0，此时函数y单调递减；当0＜a＜

2

3

时，y′＞0，此时函数y单调递增．
∴a=

2

3

是函数y=b²=4a²-4a³的极大值，也是最大值，为

16

27

．
∴b2≤

16

27

，
∴|b|≤

4 3

9

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．