Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为常数）．
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f（x），然后求f′（x），找f′（x）＞0所对应的x的区间，和f′（x）＜0所对应的x的区间，这样就求出了f（x）的单调区间；
（2）想着让不等式变成一边是a，另一边含x的式子，这样便于求a的取值范围．由于x∈[1，e]，所以原不等式可变成a≥

-x2+2x

lnx-x

，令g（x）=

-x2+2x

lnx-x

，a需满足：a≥g（x）_max，所以求函数g（x）的最大值即可．可通过求导数，判断导数的符号，得出g（x）在[1，e]的单调性，从而求出g（x）的最大值，这样便求出了a的取值范围．

解答： 解：（1）a=-2时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

；
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1]，单调递增区间为（1，+∞）．
（2）由已知条件得：alnx+x²≤（a+2）x，a（lnx-x）≤-x²+2x；
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取；
∴lnx＜x，∴lnx-x＜0；
∴a≥

-x2+2x

lnx-x

；
令g（x）=

-x2+2x

lnx-x

（x∈[1，e]），g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(lnx-x)2

；
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，lnx≤1，x+2-2ln2＞0；
∴g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上为增函数；
∴g（x）在[1，e]上的最大值为：

e2-2e

e-1

；
∴a的取值范围为：[

e2-2e

e-1

，+∞)．

点评：本题考查通过判断导数符号来判读函数单调性，求单调区间的方法，而把（2）中的不等式变成a≥

-x2+2x

lnx-x

是求解本题的关键．