Question

（1）若关于x的不等式x²-4mx+12m≤0在[-3，-1]上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的不等式x²-4mx+12m≥0在[-3，-1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令f（x）=x²-4mx+12m，则只需满足f（-1）≤0且f（-3）≤0即可．
（2）运用参数分离法，关于x的不等式x²-4mx+12m≥0在[-3，-1]上恒成立，即4m（x-3）≤x²，4m≥

x2

x-3

，求出右边函数的最大值，可以用换元，令x-3=t（-6≤t≤-4），转化为关于t的函数求得．

解答： 解：（1）∵关于x的不等式x²-4mx+12m≤0在[-3，-1]上恒成立，
∴令f（x）=x²-4mx+12m，则只需满足f（-1）≤0且f（-3）≤0即可．
即1+4m+12m≤0且9+12m+12m≤0，
即有m≤-

1

16

且m≤-

9

24

．即m≤-

9

24

．
故m的取值范围是（-∞，-

9

24

]；
（2）关于x的不等式x²-4mx+12m≥0在[-3，-1]上恒成立，
即4m（x-3）≤x²，4m≥

x2

x-3

，
∵-3≤x≤-1，∴-6≤x-3≤-4，
令x-3=t（-6≤t≤-4），则

x2

x-3

=

(t+3)2

t

=6+t+

9

t

，
由于（6+t+

9

t

）′=1-

9

t2

＞0，故[-6，-4]为增区间，
则6+t+

9

t

的值域为[-

3

2

，-

1

4

]，
故4m≥-

1

4

即m≥-

1

16

．
即m的取值范围是[-

1

16

，+∞）．

点评：本题考查二次不等式的恒成立问题，可结合二次函数的图象，也可通过参数分离，构造函数求函数的最值，本题是易错题，属于中档题．