Question

已知圆C过原点，圆心在射线y=2x（x＞0）上，半径为

5

．
（1）求圆C的方程．
（2）若M为直线x+2y+5=0上的一动点，过M作圆C的切线，切点为A，求|MA|的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²，由条件列出方程，解出a，b即可；
（2）在直角三角形MAC中，|MA|²=|MC|²-|AC|²═|MC|²-5，要求|MA|的最小值，只要求|MC|的最小值，而C到直线x+2y+5=0的距离d即为|MC|的最小值．

解答： 解：（1）设圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²，
则a²+b²=r²①，b=2a②，r=

5

③（a＞0）
解得a=1，b=2．
故圆C：（x-1）²+（y-2）²=5．
（2）如图，MA⊥AC，在直角三角形MAC中，
|MA|²=|MC|²-|AC|²═|MC|²-5，
要求|MA|的最小值，只要求|MC|的最小值，
而C到直线x+2y+5=0的距离d即为|MC|的最小值，由于d=

|1+2×2+5|

1+4

=2

5

，
则|MA|的最小值为

20-5

=

15

．

点评：本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系：相切，求切线长问题，考查几何法求最值的方法，是一道中档题．