Question

已知点M，N为圆C：x²+y²=9上的任意两点，且|MN|＜2，若弦MN中点组成的区域为Ω，任意有序实数对（a，b）∈Ω，记函数f（x）=

3

2

ax²+bx+c在区间x∈（-1，1）上有且只有一个极小值点为事件A，则事件A发生的概率为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,概率与统计

分析：先确定a²+b²=8，再确定-1＜-

b

3 a

＜1，且a＞0，即可求出概率．

解答： 解：∵点M，N为圆C：x²+y²=9上的任意两点，且|MN|＜2，若弦MN中点组成的区域为Ω，任意有序实数对（a，b）∈Ω，
∴a²+b²=8．
∵f（x）=

3

2

ax²+bx+c，
∴f′（x）=

3

ax+b=0，
∵函数f（x）=

3

2

ax²+bx+c在区间x∈（-1，1）上有且只有一个极小值点，
∴-1＜-

b

3 a

＜1，且a＞0，
对应的区域，如图所示阴影部分，两条直线的夹角为120°，
∴所求的概率为

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查概率知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．