Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x，其定义域为[-2，t]（t＞-2），
（1）当t=2时时，求函数f（x）的极大值；
（2）求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并确定这样的x₀的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极大值；
（2）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定，分类讨论确定x₀的个数．

解答： 解：f'（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x----1-分
（1）由f'（x）=（x²-x）e^x=0得x=0，或x=1-----（2分）
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表

x	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，2）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

f（x）的极大值为f（0）=3．-----（4分）
（2）

f′(x0)

ex0

=

x

2 0

-x0，所以

x

2 0

-x0=

2

3

(t-1)2-----（5分）
设g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，
g(-2)=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)-----（6分）
g(t)=t(t-1)-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)-----（7分）
当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；-----（9分）
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，而g(0)=-

2

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解；-----（11分）
当t=1或t=4时，g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；-----（13分）
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意-----（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、根的存在性及根的个数判断，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．