Question

设x∈R，函数f（x）=

e-x

2

（ax²+a+1）．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）求证：当a≥0时，f（x）在R上为减函数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过a=-1，得到函数的表达式，求出函数的导数，求出极值点，以及函数的端点的函数值，即可求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过a=0时，a＞0，判断函数的导数的符号小于0，直接证明f（x）在R上为减函数．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-

e-x

2

•x²，f′（x）=

e-x

2

（x²-2x）．
由f′（x）=0，得x=0或x=2．
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴f（x）在x=0处取得极大值0．
又f（-1）=-

1

2

e，f（2）=-

2

e2

，
故在[-1，2]上，f（x）的极大值为0，最小值为-

e

2

；
（Ⅱ）证明：f′（x）=-

1

2

e^-x（ax²-2ax+a+1）．
当a=0时，f′（x）=-

1

2

e^-x＜0，
∴f（x）在R上为减函数．
当a＞0时，△=4a²-4a（a+1）=-4a＜0，
∴ax²-2ax+a+1＞0恒成立，则f′（x）＜0，
此时，f（x）在R上为减函数．
故当a≥0时，f（x）在R上为减函数．

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法以及利用导数证明函数的单调性的方法，考查计算能力．