Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

4

3

，且a_n+1=

4(n+1)an

3an+n

（n∈N^*）．
（1）求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值；
（2）设b_n=

an

n

（n∈N^*），用数学归纳法证明：b₁b₂b₃…b_n＜2．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）取倒数，证明{

n

an

-1}是以

3

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列，即可求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值；
（2）利用数学归纳法证明，关键证明0＜

ak+1

k+1

＜1．

解答： （1）解：∵a_n+1=

4(n+1)an

3an+n

，
∴

n+1

an+1

-1=

1

4

（

n

an

-1），
∵a₁=

4

3

，
∴{

n

an

-1}是以-

1

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴

n

an

-1=-

1

4

•(

1

4

)n-1，
∴

n

an

=1-

1

4

•(

1

4

)n-1，
∴

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=n+

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=n+

1

3

（1-

1

4n

）；
（2）证明：n=1时，b₁=a₁=

4

3

＜2，满足题意；
设n=k时，结论成立，即b₁b₂b₃…b_k＜2

ak+1

k+1

，
则n=k+1时，b₁b₂b₃…b_k+1＜2b_k+1=2×

ak+1

k+1

，
由（1）知，

n

an

=1+

3

4

•(

1

4

)n-1＞1，∴0＜

ak+1

k+1

＜1，
∴b₁b₂b₃…b_k+1＜2，
由（1）（2）可知b₁b₂b₃…b_n＜2．

点评：本题考查等比数列的判断，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．