Question

某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
（Ⅰ）根据三视图，画出该几何体的直观图；
（Ⅱ）在直观图中，
①证明：PD∥面AGC；
②证明：面PBD⊥面AGC；
③求面PAB与面PBC的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,简单空间图形的三视图,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由三视图可知：该几何体的直观图如图所示，是一个正四棱锥，其高为

2

，底面边长为2．
（II） ①证明：连接AC，BD交于点O，连接OG，利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
②连接PO，利用线面垂直的性质可得PO⊥AO，再利用正方形的性质可得AO⊥OB，再利用线面、面面垂直的判定即可得出．
③建立如图所示坐标系，利用法向量的夹角即可得出二面角．

解答： 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图所示，是一个正四棱锥，其高为

2

，底面边长为2． 
（II）①证明：连接AC，BD交于点O，连接OG，
∵G为PB的中点，O为BD的中点，
∴OG∥PD．
又OG?面AGC，PD?面AGC，
∴PD∥面AGC．
②连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，
∴AO⊥PO．  
又AO⊥BO，PO∩OB=O．
∴AO⊥面PBD．
∵AO?面AGC，∴面PBD⊥面AGC．
③建立如图所示坐标系，由三视图知，PO=

2

，AB=2，AC=2

2

，AO=

2

，
∴P（0，0，

2

），B（0，

2

，0），A（

2

，0，0），
C（-

2

，0，0），

BP

=(0，-

2

，

2

)，

BA

=(

2

，-

2

，0)，

BC

=(-

2

，-

2

，0)
设面PBA的法向量为n=（x，y，z）
∴

n • BP =- 2 y+ 2 z=0 n • BA = 2 x- 2 y=0

令x=1得y=1，z=1．
∴n=（1，1，1）
设面PBC的法向量为m=（x'，y'，z'）
∴

m • BP =- 2 y′+ 2 z′=0 m • BC =- 2 x′- 2 y′=0

令x'=1得y'=-1，z'=-1∴m=（1，-1，-1）．
设面PAB与PBC的夹角为θ，
则cosθ=

m • n

| m || n |

=

1-1-1

3 × 3

=-

1

3

．
∴面PAB与PBC的夹角为余弦值为

1

3

．

点评：本题综合考查了线面、面面平行与垂直的判定、性质，考查了空间角，考查了推理能力和计算能力，属于难题．