Question

已知函数f（x）=（x³+ax²）e^x，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上为单增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）有两个极小值点x₁，x₂（x₁，x₂≠0），且f（x₁）•f（x₂）＜

4

e2

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）在[-1，1]上为单增函数，x[x²+（3+a）x+2a]≥0在[-1，1]上恒成立，分类讨论，尽快求a的取值范围；
（Ⅱ）先确定a＜0，再由韦达定理可得f（x₁）•f（x₂）=-4a³e^-（3+a）＜

4

e2

，设g（a））=-4a³e^-（3+a），则g（a）＜g（-1），利用g（a）在a＜0时单调递减，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x³+ax²）e^x，
∴f′（x）=[x²+（3+a）x+2a]xe^x，
∵f（x）在[-1，1]上为单增函数，
∴x[x²+（3+a）x+2a]≥0在[-1，1]上恒成立．
令t=x+2，则
①x=0时，恒成立；
②x∈（0，1]时，t∈（2，3]，a≥

2

t

-t+1在（2，3]上恒成立，∴a≥0；
③x∈[-1，0）时，t∈[1，2），a≤

2

t

-t+1在（2，3]上恒成立，∴a≤0．
综上a=0；
（Ⅱ）∵f（x）有两个极小值点x₁，x₂（x₁，x₂≠0），
∴x²+（3+a）x+2a=0有一正一负两根，
∴a＜0，
∴由韦达定理可得f（x₁）•f（x₂）=-4a³e^-（3+a）＜

4

e2

，
设g（a））=-4a³e^-（3+a），则g（a）＜g（-1），
∵g（a）在a＜0时单调递减，
∴-1＜a＜0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．