Question

函数f（x）=1+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）当x＞0时，求证：f（x）-1≥a（1-

1

x

）；
（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：设φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)，由φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，得x=1，由此利用导数性质能证明f（x）-1≥a（1-

1

x

）．
（Ⅱ）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即a＞

x-1

lnx

，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：设φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)，
则φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，解得x=1，…．（2分）
0＜x＜1时，φ'（x）＜0，φ（x）单调减，
x＞1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调增，
∴φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，
∴f（x）-1≥a（1-

1

x

）．…（5分）
（Ⅱ）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x，即a＞

x-1

lnx

，
另g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx- x-1 x

(lnx)2

…..（7分）
另h(x)=lnx-

x-1

x

，h′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，
则h（x）单调递增所以h（x）＞h（1）=0…..（10分）
因为h（x）＞0，所以g'（x）＞0，
即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e-1，
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．…（12分）

点评：本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．