Question

已知函数f（x）=

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x³-ax²+4，且x=2是函数f（x）的一个极小值点．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值，并指出相应的x取值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件得f′（x）=x²-2ax，f′（2）=0，由此能求出a=1．
（2）由f′（x）=x²-2x=x（x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=2，列表讨论，能求出f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值，并能指出相应的x取值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x³-ax²+4，∴f′（x）=x²-2ax，
∵x=2是函数f（x）的一个极小值点，
∴f′（2）=0，即4-4a=0，解得a=1，
经检验，当a=1时，x=2是函数f（x）的一个极小值点，
∴a=1．
（2）由（1）知f(x)=

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x3-x2+4，
∴f′（x）=x²-2x=x（x-2），
令f′（x）=0，得x=0或x=2，
当x在[-1，3]上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8 3	↑	4	↓	8 3	↑	4

当x=-1或x=-2时，f（x）有最小值

8

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；
当x=0或x=3时，f（x）有最大值得．

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．