Question

已知函数f（x）=

ax+b

x2+1

（a＞0）
（Ⅰ）求证：f（x）必有两个极值点，一个是极大值点，-个是极小值点；
（Ⅱ）设f（x）的极小值点为α，极大值点为β，f（α）=-1，f（β）=1，求a、b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设g（x）=f（e^x），若对于任意实数x，g（x）≤

2

2+mx2

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用极值的定义证明即可；
（Ⅱ）利用韦达定理，结合f（α）=-1，f（β）=1，求a、b的值；
（Ⅲ）原问题可化为m≤

ex+e-x-2

x2

对一切x∈（-∞，0）∪（　　），+∞）恒成立，构造函数，研究函数的值域，即可求实数m的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：f′（x）=-

ax2+2bx-a

(x2+1)2

令f′（x）=ax²+2bx-a=0           …（2分）
△＞0，∴f′（x）=0有两实根不妨记为α，β

x	（-∞，α）	α	（α，β）	β	（β，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		极小		极大

∴f（x）有两个极值点，一个极大值点一个极小值点                              …（4分）
（Ⅱ）解：ax²+2bx-a=0，由韦达定理得α+β=-

2b

a

∵f（α）=-1，f（β）=1，
∴α²+αα+b+1=0，β²-αβ-b+1=0．
∴（α+β）（α-β）=0…（6分）
∴α+β=0，
∴b=0，α=-1，β=1，∴a=2                           …（7分）
（Ⅲ）解：∵g（x）=f（e^x），
∴m≥0                             …（8分）
当x=0时，不等式恒成立
∴原问题可化为m≤

ex+e-x-2

x2

对一切x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立
设u（x）=

ex+e-x-2

x2

，则u′（x）=

x(ex-e-x)-2(ex+e-x-2)

x3

设h（x）=（e^x-e^-x）x-2（e^x+e^-x-2），
∴h′（x）=（e^x+e^-x）x-（e^x-e^-x），h″（x）=（e^x-e^-x）x，
当x＞0时，e^x＞e^-x，∴h″（x）＞0，当x＜0时，e^x＜e^-x，∴h″（x）＞0，
∴h′（x）在R上单调递增，
又∵h′（0）=0
∴当x＞0时，h′（0）＞0，当x＜0时，h′（0）＜0
∴h（x）在（-∞，0）上递减，（0，+∞）递增，
∴h（x）＞h（0）=0           …（10分）
∴当x＞0时，u′（x）＞0，当x＜0时，u′（x）＜0，
∴u（x）在（-∞，0）上递减，（0，+∞）递增，
∴x→0，u（x）→1
∴0≤m≤1．                                                …（12分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确构造函数的关键．