Question

设函数f（x）=e^x（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）-2（e^x+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；
（3）若函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值为φ（t），解关于t的不等式φ（t）≤4e²．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件得f′（x）=e^x（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，f′（0）=a+b=g′（0）=2b，f（0）=b=g（0）=2，由此求出a=b=2，从而能求出f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．
（2）由题意F′（x）=2（e^x+1）（x+1），由导数性质得F（x）_极小值=F（-1）=1-

2

e

＞0，由此求出函数F（x）的零点个数为0．
（3）f′（x）=2e^x（x+2），由导数性质求出φ（t）=

-2e-2，(-3＜t＜-2) 2et(t+1)，(t≥-2)

，由此能示出不等式φ（t）≤4e²的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x（ax+b），g（x）=x²+2bx+2
∴f′（x）=e^x（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，
由题意它们在x=0处有相同的切线，
∴f′（0）=a+b=g′（0）=2b，∴a=b，
f（0）=b=g（0）=2，∴a=b=2，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．
（2）由题意F（x）=2xe^x+x²+2x+2，
∴F′（x）=2（e^x+1）（x+1），
由F′（x）＞0，得x＞-1；由F′（x）＜0，得x＜-1，
∴F（x）在（-1，+∞）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，
∴F（x）_极小值=F（-1）=1-

2

e

＞0，
∴函数F（x）的零点个数为0．
（3）f′（x）=2e^x（x+2），由f′（x）＞0，得x＞-2，
由f′（x）＜0，得x＜-1，∴F（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调调递减，
∵t＞-3，∴t+1＞-2．
①当-3＜t＜-2时，f（x）在（t，-2）单调递减，（-2，t+1）单调递增，
∴f(x)min=f(-2)=-2e-2．
②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴f(x)min=f(t)=2et(t+1)
∴φ（t）=

-2e-2，(-3＜t＜-2) 2et(t+1)，(t≥-2)

，
当-3＜t＜-2时，φ（t）≤4e²，
当t≥-2时，φ（t）=2e^t（t+1），
当-2≤t≤-1时，φ（t）≤4e²，
当t＞-1时，φ（t）=2e^t（t+1）是增函数，又φ（2）=6e²，
∴-1＜t≤2，
∴不等式φ（t）≤4e²的解集为（-3，2]．

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．