Question

如图所示，曲线段OMB是函数f（x）=x²（0＜x＜60）的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t））处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）试用t表示出△QAP的面积g（t）；若函数g（t）在（m，n）上单调递减，试求出m的最小值；
（3）若S_△QAP∈[

121

4

，64]试求出点P横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数在切点处的导数与切线斜率的关系求出切线的斜率，又切线PQ过切点，从而求得切线方程．
（2）根据切线方程求出P，Q点的坐标，从而求出PA，QA的长度，这样就可求出△QAP的面积，然后通过求导数，根据导数符号找出g（t）的单调递减区间，从而求得m的最小值．
（3）分别求出S_△QAP在（0，4）和（4，6）上的取值范围，并根据S_△QAP在（0，4），（4，6）上的单调性及g（1）=

121

4

，g（4）=64求出S_△QAP∈[

121

4

，64]时t的取值，从而求出点P横坐标的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=2x，M（t，t²）；
∴过点M的切线PQ的斜率为：2t；
∴切线PQ的方程为：y=2tx-t²．
（2）由（1）可求得，P（

t

2

，0），Q（6，12t-t²）；
∴g（t）=

1

2

(6-

1

2

t)(12t-t2)=

t3

4

-6t2+36t（0＜t＜6）；
g′（x）=

3t2

4

-12t+36，令g′（x）＜0得：4＜t＜6；
∴g（t）在（4，6）上单调递减，∴m的最小值为4．
（3）由（2）知，g（t）在（4，6）上递减，S_△QAP∈（g（6），g（4））=（54，64）；
令g′（t）＞0，得0＜t＜4，∴g（t）在（0，4）上递增，∴S_△QAP∈（g（0），g（4））=（0，64）；
又g（1）=

121

4

，g（4）=64；
∴g（t）∈[

121

4

，64]时，t∈[1，6），∴

t

2

∈[

1

2

，3)；
∴点P横坐标的取值范围是[

1

2

，3)．

点评：考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，函数导数符号和函数单调性的关系，直线的点斜式方程，注意第三问要分别在（0，4）和（4，6）上找t的取值范围．