Question

设函数f（x）=xⁿ+bx+c （n∈N₊，b，c∈R）
（1）设n=2，b=1，c=-1，证明：f（x）在区间（

1

2

，1）内存在唯一零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f（x）=x²+x-1，f'（x）=2x+1，由此利用导数性质和零点存在性定理能证明f（x）在区间（

1

2

，1）内存在唯一零点．
（2）由已知得-2≤-b+c≤0，-2≤b+c≤0，从而得到b+3c=（-b+c）+2（b+c）∈[-6，0]，由此能求出b+3c的最大值和最小值．

解答： （1）证明：若n=2，b=1，c=-1，则f（x）=x²+x-1
∴f'（x）=2x+1，
当x∈(

1

2

，1)时f'（x）＞0，∴f（x）在（

1

2

，1）上是增函数，
∵f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

-1＜0，
f（1）=1+1-1＞0
由零点存在性定理知f（x）在区间（

1

2

，1）内存在唯一零点．
（2）解：∵n 为偶数，
∴|f（-1）|=|1-b+c|≤1，
|f（1）|=|1+b+c|≤1，
∴-2≤-b+c≤0，-2≤b+c≤0
∴-4≤2（b+c）≤0，
∴b+3c=（-b+c）+2（b+c）∈[-6，0]
故b+3c的最大值为0，最小值为-6．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题要认真审题，注意导数性质和零点存在性定理的合理运用．